La teoria della Relatività, come si è detto, capovolge completamente l'edificio della meccanica e dell'elettromagnetismo così come lo avevano concepito Galilei, Newton, Maxwell e soci; ce ne rendiamo subito conto se analizziamo alcune conclusioni paradossali cui Einstein è giunto; ed il caso più clamoroso é certamente il famosissimo « paradosso dei gemelli ». Uno dei due parte su un'astronave superveloce verso una stella lontana, l'altro resta a terra. Quando il primo torna, é molto più giovane del suo gemello, perché il tempo per lui si è dilatato. Ecco come un disegnatore ha immaginato la scena dell'abbraccio tra i due gemelli ormai "sfasati":
In realtà questo paradosso, come tutti i paradossi che si rispettano, presenta degli aspetti poco chiari, e dunque è bene rifletterci su; anche perché il grande Paul Davies, uno dei massimi studiosi viventi dell'opera di Einstein, ha ammesso di ricevere ogni anno decine di lettere del tipo: « Ho scoperto che Einstein ha sbagliato tutto e che ho ragione io, mi aiuti a dimostrarlo al mondo! » Seguiamo dunque un ragionamento svolto dallo stesso Davies nel suo capolavoro divulgativo "I misteri del tempo", da cui ho tratto anche una lettura dedicata all'antimateria.
Supponiamo di essere invitati a imbarcarci su una navicella spaziale che parte nell'anno 2000 e ritorna nel 2020. In pratica, stante il fenomeno della dilatazione dei tempi, ci viene offerta l'opportunità di scegliere quanto velocemente vogliamo « raggiungere » l'anno terrestre 2020, il che determinerà la nostra velocità rispetto alla Terra. Se siamo d'accordo nell'aspettare dieci anni, cioè nel voler comprimere venti anni in dieci, dobbiamo viaggiare a una velocità pari all'86% di quella della luce. Per ridurre la durata a due soli anni, invece, occorre raggiungere il 99,5% della velocità della luce. Nella figura seguente è rappresentata graficamente questa relazione. Possiamo notare come, a mano a mano che ci si avvicina alla velocità della luce, il « viaggio » fra gli anni terrestri 2000 e 2020 si accorcia (misurato da Terra il viaggio dura sempre vent'anni). Al limite, nel caso in cui viaggiassimo esattamente a velocità c, il viaggio sarebbe istantaneo. Questo giustifica l'affermazione, già di per sé alquanto paradossale, secondo cui tutte le particelle che viaggiano alla velocità della luce (ad es. i fotoni, vedi paragrafo 4.4) vedono il tempo fermo. Ma questo non è problema che ci riguardi perché, come discuteremo nel paragrafo 4.2, per noi esseri umani la velocità della luce è irraggiungibile.
Consideriamo ora due gemelli, chiamati Tommasino e Tommasone (perché, in ebraico, Tommaso vuol dire proprio "gemello"). Tommasone, il più robusto e il più intraprendente dei due, lascia la Terra nell'anno 2000 per raggiungere, a bordo di una navicella spaziale, una stella distante 8 anni luce (la distanza è misurata nel sistema di riferimento terrestre), viaggiando ad una velocità di 240.000 chilometri al secondo, pari cioè ai 4/5 della velocità della luce. A tale velocità occorrono dieci anni per percorrere 8 anni luce, e quindi per Tommasino, sulla Terra, Tommasone rientrerà nell'anno 2020 (dieci anni per arrivare sulla stella più dieci anni per tornare sulla Terra). Tommasone, al suo ritorno, concorderà sul fatto che sia l'anno terrestre 2020, ma sosterrà che per lui sono trascorsi soltanto dodici anni, e l'orologio dell'astronave confermerà la sua affermazione segnando l'anno 2012.
Il viaggio di andata misurato da Terra dura dieci anni. Tommasino però, che osserva il fratello con un potente telescopio, non vedrà effettivamente la navicella raggiungere la stella nel 2010 poiché a questo punto Tommasone sarà lontano 8 anni luce. Dato che la luce deve impiegare altri otto anni per tornare sulla Terra, Tommasino avrà la prova visiva dell'arrivo del fratello sulla stella nel 2018 (dieci più otto). La formula di Einstein (2.1) ci dice che l'orologio di Tommasone funziona a una velocità che è pari al 60% di quella di un orologio terrestre, e quindi, quando Tommasone arriva sulla stella, il suo orologio indica che sono trascorsi sei anni. Pertanto, quando Tommasino vede l'arrivo nel 2018, l'orologio dell'astronave segna l'anno 2006.
Dal punto di vista di Tommasone le cose sono ribaltate. Concorda ovviamente sul fatto che l'orologio dell'astronave segna l'anno 2006 al momento del suo arrivo sulla stella, ma in quell'istante vede l'orologio di Tommasino segnare l'anno 2002. Infatti nel sistema di riferimento terrestre l'arrivo sulla stella si è verificato nel 2010, però, dato che la stella è distante 8 anni luce, il segnale luminoso che effettivamente raggiunge la navicella in quel momento sarà partito 8 anni prima, cioè nel 2002 (dieci meno otto). Quindi Tommasone nel momento in cui raggiunge la stella vedrà il suo orologio segnare l'anno 2006 e quello terrestre l'anno 2002. La situazione è perfettamente simmetrica.
Secondo Tommasino, che nell'anno terrestre 2018 vede l'orologio sulla stella segnare l'anno 2006, l'orologio di Tommasone funziona dunque tre volte più lentamente del suo; secondo Tommasone, che nell'anno stellare 2006 vede l'orologio sulla Terra segnare l'anno 2002, l'orologio di Tommasino funziona tre volte più lentamente del suo.
Fin qui tutto bene? Allora occupiamoci del viaggio di ritorno.
Una volta arrivato, Tommasone si imbarca immediatamente per il viaggio di ritorno. Ora si sta avvicinando alla Terra e quindi il ritardo della luce è opposto a quello di dilatazione temporale. Tommasino, sapendo che Tommasone tornerà sulla Terra nel 2020 ed avendolo visto arrivare sulla stella nel 2018, avrà l'impressione che il viaggio di ritorno venga compresso in due soli anni di tempo terrestre. Abbiamo già stabilito che quando nel 2018 Tommasino vede l'orologio del suo gemello a metà del viaggio, questo segna l'anno 2006, e che quando lo rivede di nuovo sulla Terra segna il 2012. Quindi nei due anni terrestri di durata del viaggio di ritorno, Tommasino vedrà l'orologio della navicella avanzare di sei anni; in altre parole vedrà quell'orologio funzionare tre volte più velocemente del suo. Questo è un punto fondamentale: durante il viaggio di ritorno l'orologio dell'astronave visto da Terra sembrerà accelerato, e non rallentato! Come per il viaggio di andata, Tommasino è in grado di separare i due effetti e di concludere che l'orologio della navicella sta « realmente » funzionando ad una velocità pari al 60% della velocità del suo, analogamente alla prima parte del viaggio.
Tommasone, invece, al momento dell'arrivo sulla stella aveva visto l'orologio sulla Terra segnare l'anno 2002. Sappiamo che raggiungerà la Terra nel 2020, quindi Tommasone vedrà l'orologio terrestre avanzare di diciotto anni mentre sulla navicella ne trascorreranno sei. Ciò significa che a Tommasone l'orologio terrestre sembrerà funzionare tre volte più velocemente del suo. C'è quindi una completa simmetria anche nella seconda parte del viaggio! Tommasone può dedurre che l'orologio terrestre sta « realmente » andando lentamente, a una velocità pari al 60% di quella del suo.
Durante il viaggio di ritorno Tommasino vedrà l'orologio di Tommasone funzionare tre volte più velocemente del suo: infatti quello di Tommasino passerà dall'anno 2018 all'anno 2020 e quello di Tommasone dall'anno 2006 all'anno 2012. Contemporaneamente, Tommasone vedrà l'orologio di Tommasino funzionare tre volte più velocemente del suo: infatti quello di Tommasino passerà dall'anno 2002 all'anno 2020 e quello di Tommasone dall'anno 2006 all'anno 2012. Come conclude Paul Davies, se spiegato in questi termini, il paradosso dei gemelli non sembra più nemmeno un paradosso.
Purtroppo il paradosso è un altro. Infatti, se mi avete seguito bene, dovreste aver compreso che nella Relatività Ristretta non esiste un riferimento "privilegiato": se Tizio si muove rispetto a me, a lui pare che sia io a muovermi. Dunque, Tommasone potrebbe ritenere di essere rimasto fermo lui, mentre Tommasino si è mosso alla velocità di 240.000 Km/s rispetto alla sua astronave; egli dovrebbe dunque concludere che è il tempo del gemello rimasto sulla Terra ad essersi dilatato, e quindi che sarà il gemello restio ai viaggi stellari ad essere invecchiato di meno. Ed invece, al suo ritorno sulla Madre Terra, trova Tommasino oggettivamente più vecchio, e la simmetria predicata da Einstein è rotta. Come si spiega tutto questo?
Come per tutti i paradossi di questo mondo, la soluzione è più semplice di quanto non si creda. Infatti il Primo Postulato di Einstein dice chiaro e tondo che le leggi della Fisica sono simmetriche in tutti i sistemi INERZIALI; ora, Tommasino è sempre vissuto in sistema inerziale (se lo si ritiene praticamente fermo, cioè trascurando il moto della Terra rispetto all'astronave del suo gemello), ma siamo sicuri che questo vale anche per Tommasone?
Certamente no, poiché egli NON si è mosso sempre di moto rettilineo uniforme rispetto al suo pianeta madre. Per allontanarsi da questo fino ai quattro quinti della velocità della luce deve prima accelerare fortemente, poi decelerare una volta giunto a destinazione, quindi ruotare intorno alla stella lontana, riaccelerare e poi rallentare fino a fermarsi sul nostro pianeta. Tommasone è dunque vissuto per anni entro un sistema accelerato, del quale la Relatività Ristretta non si occupa. Un'analisi completa di questo paradosso in tutti i suoi dettagli può quindi essere svolta solo nell'ambito della Teoria della Relatività Generale, nella quale si mostra che, in presenza di accelerazioni e decelerazioni, il tempo viene "oggettivamente" rallentato rispetto a quello di un sistema inerziale!!!
Chi è interessato, cliccando qui potrà leggere l'analisi dettagliata del Paradosso dei Gemelli compiuta da Maurizio Cavini.
Facciamo notare che, nonostante l'apparente
irrealizzabilità, il paradosso dei gemelli è stato... verificato
sperimentalmente! Questo è stato possibile mediante il cosiddetto esperimento
di Hafele e Keating. Nel 1971 Joseph Carl Hafele (1933-2014), fisico della Washington University, e
Richard Keating (1941-2006), astronomo della Marina degli Stati Uniti, collocarono degli orologi atomici al cesio a bordo di due
aerei che volavano in direzioni opposte rispetto al pianeta: l'aereo che viaggia
in direzione est somma la sua velocità a quella di rotazione della terra,
dunque viaggia più velocemente di quello che viaggia in direzione ovest, e
quindi deve segnare un tempo inferiore di alcune frazioni di secondo. E così in
effetti è stato.
Un'altra verifica sperimentale fu invece eseguita nel 1966 in un acceleratore di particelle al M.I.T. di Boston, Massachusetts: in questo caso i viaggiatori erano muoni, fatti correre per mezzo di campi magnetici lungo percorsi circolari con velocità pari al 99,6% della velocità della luce. David H. Frisch (1918-1991) e James H. Smith (da cui deriva il nome di esperimento di Frisch-Smith) dimostrarono che al loro ritorno i muoni erano più giovani, perché erano decaduti più lentamente dei muoni in quiete nel laboratorio!
Ma c'é un altro esempio ancor più sconcertante, elaborato da Piero Angela, che illustra le trappole in cui si può cadere viaggiando a velocità prossime a quella della luce. Supponiamo che un ragazzo di 19 anni parta su un'astronave che va alla stessa velocità del treno di Einstein (4c/5) verso una meta lontana, lasciando sulla terra la giovane moglie con un bimbo appena nato. Rimane lontano per un tempo proprio di 30 anni e quindi, quando torna, egli ha 49 anni; ma per suo figlio, in base alla solita legge (2.1), ne sono trascorsi 50. Egli dunque... ha un anno in meno di suo figlio!!!