0.1  La relatività galileiana

Galileo Galilei (1568-1642) aveva intuito che non é possibile, solo con esperimenti di meccanica, rivelare se un sistema é fisso, o si muove di moto rettilineo uniforme: così infatti egli stesso scrisse nella Giornata Seconda del suo « Dialogo sui Massimi Sistemi del Mondo », (1623):

« Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non piú gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder cosí, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con piú forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso poppa, che se voi fuste situati per l'opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con piú fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, né mai accaderà che si riduchino verso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno state separate... »

Ciò vuol dire che le diciture "corpo in quiete" e "corpo in moto rettilineo uniforme" avevano un significato meramente convenzionale. Due sistemi in moto relativo l'uno rispetto all'altro si dicono INERZIALI se in essi valgono le stesse leggi della meccanica; i sistemi che si muovono l'uno rispetto all'altro di moto rettilineo uniforme sono dunque inerziali.

Il principio di relatività galileiana afferma quindi l'assoluta equivalenza fisica di tutti i sistemi di riferimento inerziali: nessun esperimento eseguito all'interno di un dato sistema di riferimento può evidenziare il moto rettilineo ed uniforme dello stesso sistema, o, in altre parole, le leggi fisiche scoperte da sperimentatori che lavorino in laboratori in moto relativo rettilineo ed uniforme devono avere la stessa forma. Si tratta ora di ricavare le formule che legano le coordinate spazio temporali di uno stesso evento visto da due diversi riferimenti e di provare che le leggi della fisica sono invarianti, nella forma, al passaggio da un riferimento all'altro; si tratta cioè di tradurre in formule il contenuto di questo principio. Consideriamo allo scopo due riferimenti (cioè due sistemi di assi cartesiani ortogonali):

K (x, y, z, t)  e  K' (x', y', z', t')

riferiti rispettivamente alle origini O ed O', di cui O' mobile rispetto ad O di moto rettilineo uniforme con velocità v₀. Si supponga che gli osservatori solidali ad O ed O' siano dotati di due orologi per la misura dei tempi sincronizzati tra loro in modo che, per esempio, quando O coincide con O' entrambi gli orologi segnino zero. Non è restrittivo supporre che gli assi x e x' siano sovrapposti e scivolino l'uno sull'altro, in modo che v sia parallela ad essi, mentre gli altri (y e y', z e z') restano paralleli fra di loro. Si consideri un certo evento fisico che avviene in un punto P con coordinate ( x, y, z ) e ( x',  y', z' ) rispetto a O ed O' rispettivamente, e negli istanti t e t' misurati dai due osservatori.

Tenendo conto che OO' = v₀ t e che sembra ovvio supporre t' = t, dalla figura sopra segue subito che valgono le cosiddette trasformazioni galileiane:

Bisogna chiarire fin d'ora che questi sistemi di riferimento sono SISTEMI A QUATTRO COORDINATE: ogni punto di essi è definito da tre coordinate nello spazio e da una nel tempo, misurate le prime tre rispetto a un'origine spaziale, la quarta rispetto a un istante iniziale t = 0. Osserviamo in particolare che la quarta di queste formule è sempre stata ritenuta evidente, e lo è ancora oggi nella vita pratica. La negazione dell'ipotesi (perché si tratta di un'ipotesi e non di una proprietà dimostrata sperimentalmente!) che gli orologi dei due osservatori debbano segnare lo stesso tempo costituisce, come vedremo, uno degli aspetti innovativi della relatività einsteiniana.

Adesso passiamo alle velocità. Se un corpo si muove con velocità costante v rispetto a K, quale velocità v' avrà rispetto a K', sapendo che il sistema O' si muove rispetto ad O con velocità v₀, detta velocità di trascinamento? Lo ricaviamo immediatamente dividendo membro a membro la prima e la quarta delle trasformazioni di Galileo, e tenendo conto che:

x / t  = v       (in  K )

x' / t' = v'    (in  K')

si ha allora:

Queste si dicono formule per la composizione delle velocità. Vedremo che anch'esse dovranno variare completamente, non appena saranno introdotti i postulati di Einstein.

Facciamo un esempio. Si supponga di essere su un carrello in movimento a 60 Km / h, e di calciare un pallone a 40 Km / h. Se lo si calcia nella direzione del moto, esso si muoverà (rispetto alla terra) a una velocità di 100 Km / h; se lo si calcia invece in direzione opposta al moto, il pallone si muoverà a soli 20 Km / h.

La (0.2) ci conduce a concludere che, detta  la variazione di velocità nel sistema O, si ha:

E quindi, dividendo il primo e l'ultimo membro per  e ricordando che

Se teniamo conto del fatto che la massa dei corpi è un invariante, utilizzando l'Equazione fondamentale della Dinamica, concluderemo che che la forma delle equazioni non dipende dal riferimento. Una modifica delle trasformazioni di Galileo deve portare necessariamente ad una modifica della Equazione fondamentale della Dinamica, se vogliamo salvare il principio di Relatività. Questa modifica costituisce uno dei tanti pilastri della teoria della relatività che, occorre sottolinearlo fin dal principio, non ha negato la validità del Principio di Relatività Galileiana, ma solo delle formule di passaggio da un riferimento ad un altro: come diremo nel paragrafo 1.2, il Principio è anzi stato esteso a TUTTI i fenomeni, e non solo a quelli meccanici!

Quelli or ora descritti sono i fondamenti della cosiddetta relatività galileiana. Secondo il mio amico Ivan Russo, autore di studi sulla Relatività raffrontata alla logica comune, il principio di relatività galileiana in realtà fu intuito per primo da Dante Alighieri, il quale nel XVII canto dell'Inferno descrive se stesso sulla groppa di Gerione. intento a scendere in volo dal VII all'VIII cerchio, e dichiara di non  accorgersi che la creatura infernale sta volando, se non per effetto della resistenza dell'aria:

« Ella sen va notando lenta lenta;
rota e discende, ma non me n'accorgo
se non che al viso e di sotto mi venta » (XVII, 115-117)

In altre parole, Dante sente un soffio d'aria sul viso, ma intuisce che a muoversi non è l'aria, bensì Gerione!

Ma allora, sulla scorta di essa, ha ancora senso parlare di MOTO ASSOLUTO? O piuttosto tutto é relativo al sistema di riferimento? Riflettiamoci su un momento.

Uno dei (tanti) problemi che assillavano i primi filosofi era il seguente: se la terra é sferica, perché gli abitanti degli antipodi non cadono? Come fanno a stare a testa in giù? Semplicissimo: essi non stanno affatto a testa in giù. Anzi, rispetto a loro, siamo noi a stare a testa in giù. Che senso ha parlare di SU e di GIÙ? Dipende dal punto in cui ci poniamo sulla superficie terrestre: per noi sono a testa in giù gli antipodi, per loro é l'esatto viceversa. Allo stesso modo, cosa vuol dire PRIMA e DOPO, senza un punto di riferimento assoluto, che cioè abbia per tutti il medesimo significato? Per farsene un'idea, si osservi la figura sopra: é la famosissima scala di Schröder. Essa è diritta o é capovolta? Quale delle sue due pareti é più vicina all'osservatore? La sola possibile risposta é: DIPENDE. Già, dipende dal punto di vista. Se la scala é pensata diritta, esce dal foglio la parete in basso; se il cervello di chi guarda la vede capovolta, la parete che prima ci sembrava davanti arretra, ed é l'altra a venire in rilievo. In realtà, la stessa mente tende a vedere la stessa scala ora dritta, ora rovesciata, tanta che, dopo un po' che la si osserva, pare capovolgersi spontaneamente. La scala é la stessa, ma é vista in due modi diversi in due possibili sistemi di riferimento!

Lo stesso può dirsi per un altro famoso dipinto "indeciso", e cioè la caricatura di donna disegnata da E.Hill nel lontano 1895 ed illustrato qui sotto. La donna é vecchia o é giovane? In verità, essa é sia l'una che l'altra allo stesso tempo. Infatti l'occhio, il naso, la bocca della donna vecchia si trasformano rispettivamente nell'orecchio, nel mento e nel collier della donna giovane. Noi vediamo l'una o l'altra delle due a seconda di quello che vogliamo guardare. La  vecchia e la giovane ci appaiono come aspetti diversi di una stessa realtà: una realtà RELATIVA, per l'appunto, al modo di guardare. In termini fisici, relativa al sistema a cui si faccia riferimento. La scala é dritta o capovolta, la donna piacente o incartapecorita a seconda di come noi lo guardiamo, e non perché queste qualità sono intrinseche nell'oggetto in esame. 

Ogni teoria fisica che si rispetti è in attesa di un fatto sperimentale che ne neghi la validità e che conduca all'elaborazione di una nuova teoria di portata più ampia e generale e che includa la precedente come caso particolare. La relatività galileiana or ora richiamata è forse l'esempio più eclatante di questa tendenza ed è certamente una delle teorie che più d'ogni altra hanno resistito tenacemente all'usura del tempo: ci sono voluti quasi trecento anni di progresso scientifico e tecnologico per evidenziarne i limiti e perché si avvertisse l'esigenza di ideare una teoria più ampia che spiegasse la totalità dei fenomeni fisici acquisiti alla conoscenza umana. La TEORIA DELLA RELATIVITÀ, elaborata dal grande fisico tedesco Albert Einstein (1879-1955), ha il suo fondamento proprio nello smascheramento dell'assoluto nella Fisica. La Fisica Classica sosteneva l'esistenza di grandezze immutabili e caratteristiche di ciascun corpo, inseparabili da esso perché connaturate nel suo essere: la lunghezza e la massa, in primo luogo. Einstein, con incredibili colpi di genio, smitizzò alcuni tra i fondamentali postulati della fisica classica ed aprì la strada ai più arditi sviluppi della fisica moderna. 

Ma c'è un'altra teoria che venne superata dalla Relatività di Einstein: la teoria classica dei campi elaborata da Maxwell. Ed é proprio di cui questo che intende occuparsi il paragrafo 0.2. Gli studenti delle classi quarte che affrontano lo studio della Relatività privi di conoscenze approfondite riguardanti il campo elettromagnetico sono invitati invece a saltare i paragrafi 0.2 e 1.1, per passare direttamente al paragrafo 1.2.