DIVISIONE DI DUE POLINOMI

Prima di affrontare l’argomento Divisione di Polinomi, vogliamo ricordare che il Quoziente Esatto di due monomi in una stessa variabile è uguale ad un monomio, nella stessa variabile, che ha per coefficiente il quoziente esatto dei due coefficienti e il cui grado è dato dalla differenza dei gradi. Per esempio si ha   

Evidentemente un monomio è divisibile esattamente per un altro soltanto quando il suo grado non è inferiore a quello dell’altro. Dall'ultima osservazione segue che ogni monomio è divisibile per qualsiasi numero diverso da zero.

Le considerazioni fatte sulla divisione intera con i numeri interi, si estendono ai polinomi in una variabile. Diremo che un polinomio in una variabile è divisibile per un altro polinomio, nella stessa variabile, se esiste un terzo polinomio che moltiplicato per il secondo dà per prodotto il primo.

Per esempio il polinomio  è divisibile per il polinomio  poiché, come si può facilmente verificare, risulta:

  =

Generalmente, dati due polinomi, non accade che uno sia divisibile per l’altro, sussiste però il seguente importante teorema, analogo a quello già visto con i numeri interi e cioè:

 "Dati due polinomi nella stessa variabile, che indichiamo con A(x) e B(x) (il secondo non nullo), esistono e sono unici due altri polinomi, sempre nella stessa variabile, che chiamiamo Q(x) e R(x), con R(x) polinomio nullo o di grado minore di quello di B(x), tali che sussista l'uguaglianza:

Grazie a questo teorema è possibile dare alcune definizioni: “Q(x) e R(x), sempre in analogia con la divisione intera, si chiamano Quoziente e Resto della divisione tra A(x) e B(x), che a loro volta diventano Dividendo e Divisore. È bene sottolineare che il resto deve avere grado inferiore a quello del divisore o essere zero (polinomio nullo)”

 Ovviamente la condizione necessaria e sufficiente perché un polinomio sia divisibile per un altro, è che il resto della loro divisione sia zero (polinomio nullo).

Cominciamo a dividere un polinomio per un monomio, si distinguono due casi:

1. Tutti i termini del polinomio sono divisibili per il monomio
2. Solo alcuni termini sono divisibili per il monomio

         Nel primo caso basta applicare la proprietà distributiva a destra della divisione rispetto all’addizione. Per esempio dovendosi eseguire , possiamo, applicando la proprietà distributiva, dividere ciascun termine del polinomio per 3x ottenendo come quoziente esatto il trinomio:

                Nel secondo caso, come ad esempio nella divisione  applicheremo la proprietà distributiva soltanto ai termini divisibili per 2x², i rimanenti termini formeranno il resto. In pratica il quoziente sarà  e il resto , in perfetto accordo con la definizione di divisione di polinomi. Infatti è proprio vero, com’è facilmente verificabile che:

dove il grado del resto è, non va mai dimenticato, inferiore al grado del divisore. Avvertiamo però che in questo caso la divisione  è di scarsa utilità pratica.        

  Se  anche il divisore è un polinomio, di  grado però maggiore a quello del dividendo, evidentemente il quoziente è uguale a zero (polinomio nullo) e il resto è uguale allo stesso dividendo. Per esempio dovendosi dividere il polinomio  per il polinomio , il quoziente è zero ed il resto è , infatti risulta soddisfatta la definizione essendo vero che

  =( )·0+ ,

cioè “dividendo=divisore·quoziente+resto, con il grado del resto minore al grado del divisore, anche in questo caso la divisione non è di alcuna utilità.

Vediamo ora, come procedere nel caso più generale e più importante, quando cioè il grado del primo polinomio non è inferiore a quello del secondo. Si vogliano dividere ad esempio i polinomi e  , da quanto detto in precedenza dovremo determinare il quoziente Q(x) e il resto R(x) in modo che lo sviluppo dell’espressione sia uguale a . 

In base al  principio di identità polinomi il termine principale dell'espressione  dovrà  coincidere col termine principale del polinomio A(x), cioè  deve essere uguale a . Ricordando che R(x) deve avere grado inferiore a 3, o essere il polinomio nullo, possiamo affermare (vedi riflessioni sui polinomi ) che il termine principale dell'espressione prima indicata, è  dato dal prodotto tra   e il termine principale di Q(x).  Segue che che il termine di massimo grado di Q(x) è ,  cioè il quoziente tra e . Siamo pervenuti ad una prima importante conclusione: “Il termine di massimo grado del quoziente della divisione di due polinomi in una stessa variabile è uguale al quoziente dei due termini di massimo grado (termini principali)”.

Per sapere se il quoziente ha altri termini cominciamo col moltiplicare il termine già trovato, , per il polinomio divisore: , siccome il prodotto non è uguale al dividendo, possiamo escludere che sia il quoziente esatto tra i due polinomi assegnati. Eseguiamo adesso la sottrazione tra A(x) e il prodotto appena trovato:

.

Quello che abbiamo fatto fino ad ora può essere riassunto dall’uguaglianza:

         A(x)= ×B(x) . Poiché il grado del polinomio che occorre sommare algebricamente al prodotto tra e B(x) è maggiore di quello del divisore, in base alla definizione di divisione di due polinomi, non possiamo affermare che il monomio e il polinomio  sono, rispettivamente, quoziente e resto tra A(x) e B(x)[1]. Per questo motivo il polinomio si chiama  “primo resto parziale”.

   Per determinare gli altri monomi del quoziente, adesso siamo certi dell’esistenza di almeno un altro termine, schematizziamo i calcoli fatti sino ad ora nei seguenti passi 1. e 2.

1.      Si comincia col disporre, nel modo seguente, dividendo e divisore, ordinandoli secondo le potenze decrescenti. Completiamo il dividendo col termine 0x² (il divisore, se fosse stato incompleto, non lo avremmo in ogni caso completato). Determiniamo il primo termine del quoziente, dividendo lo ricordiamo, il termine principale del dividendo per quello del divisore

2.      Il prodotto  viene calcolato, cambiato di segno (ricordiamoci che va sottratto dal dividendo) e incolonnato, tenendo conto dei termini simili, ecco perché abbiamo inserito il termine 0x², sotto il dividendo. Infine si esegue la somma algebrica per trovare il “primo resto parziale”

3.      Adesso basterà considerare il resto parziale come dividendo e procedere come prima: divideremo, cioè, -6x⁴ per 2x³ e troveremo il secondo termine del quoziente (che sarebbe il termine principale della divisione tra primo resto parziale e B(x)

4.      Procediamo come al passo 2. Eseguiamo , cambiamo il segno di ogni termine che otteniamo dallo sviluppo, lo incolonniamo sotto il rispettivo monomio simile del primo resto parziale e quindi sommiamo algebricamente. Troviamo un nuovo resto parziale, il secondo, in quanto il suo grado non è minore di quello di B(x)

5.      Ripetiamo il procedimento dei passi 1 e 3 per determinare l’ultimo termine del quoziente

6.      Ripetendo i passi 2 e 4 avremo finito. Infatti si ottiene il resto definitivo, poiché di grado minore a quello di B(x)

La divisione è finita e possiamo quindi concludere affermando che:

Per comprendere meglio il motivo che rende corretto il procedimento usato, chiamiamo a, b, c, i tre termini del quoziente (cioè poniamo a=2x²; b= –3x; c=1 ); r₁, r_2, r siano invece, nell’ordine, i due resti parziali e il resto definitivo.

Ricordando come sono stato ottenuti possiamo affermare:

            A(x)=B(x)ּa+ r₁

                    r₁= B(x)ּb+ r₂

                    r₂= B(x)ּc+ r

Sostituendo, nella prima uguaglianza, ad r₁ la sua espressione otteniamo A(x)=B(x)ּa+ B(x)ּb+ r_2, sostituiamo, ora, ad r₂ la relativa espressione, avremo A(x)=B(x)ּa+ B(x)ּb+ B(x)ּc+ r, raccogliendo B(x) a fattor comune si otterrà: 

A(x)= B(x)ּ(a+b+c)+r. Basta adesso riflettere sul significato di divisione di polinomi per poter concludere che a+b+c è il quoziente e che r è il resto.

            Per altri esempi vedi esercizi svolti