DIVISIONE INTERA IN  Z

            Ricordiamo che dati, nell’ordine, due numeri interi a, b (b diverso da zero) si dice che il primo è divisibile  per il secondo (o che il secondo divide il primo), se esiste un terzo numero intero c che moltiplicato per b dà per prodotto a: in simboli se accade che .  Per esempio diciamo che 5 divide -20, poiché  - , e che -20 non è divisibile per 7, poiché non esiste alcun numero intero che moltiplicato per 7 fa -20. 

 Per i numeri interi risulta valido il seguente importante teorema, che ci limitiamo ad enunciare: “Dati, nell’ordine, due numeri interi a,b (col secondo diverso da zero), esistono e sono unici due altri numeri interi q, r (con 0£r£ |b|) tali che sussista l’uguaglianza a=b×q+r”. 

 I numeri q, r prendono il nome  quoziente e resto della divisione intera tra a e b che, a loro volta, si chiamano dividendo e divisore

Come esempio, dati i numeri 20 e 7, la loro divisione intera porta alla determinazione dei numeri 2 (come quoziente) e 6 (come resto) infatti 20=7×2+4 e 6 è minore di 7. Ovviamente un numero intero è divisibile per un altro se e solo se il resto della loro divisione è zero. A volte la divisione senza resto, per distinguerla da quella con resto, viene chiamata divisione esatta.

La divisione esatta  gode di due importanti proprietà, la seconda, con qualche modifica,  vale anche per le divisioni con resto

1. PROPRIETA' DISTRIBUTIVA A DESTRA  RISPETTO ALL'ADDIZIONE: il quoziente esatto della divisione tra la somma di due o più numeri per un altro numero, diverso da zero, (supposto che  tutti gli addendi siano divisibili per il divisore) è uguale alla somma dei quozienti tra ciascun addendo e quel numero.  

2. PROPRIETA' INVARIANTIVA: Se  dividendo e  divisore vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero intero diverso da zero, il quoziente della divisione rimane invariato.

La PROPRIETA' INVARIANTIVA continua a valere anche per la divisione intera (con resto), ma con due precisazioni: la prima è che il  numero per cui dividendo e divisore sono moltiplicati o divisi deve essere intero positivo, la seconda è che mentre  il quoziente rimane invariato, il resto rimane anch'esso moltiplicato o diviso per lo stesso numero.

Alcuni esempi chiariranno i due teoremi

         Per la proprietà distributiva si consideri l’espressione (24+18+12):6. Si perviene allo stesso risultato sia eseguendo l’addizione e poi dividendo la somma per 6, cioè 54:6=9, sia dividendo ciascun addendo per 6 e poi sommando i vari quozienti, cioè 4+3+2=9.

Per la proprietà invariantiva si consideri la divisione 37:15           

    Si ottiene 2 come quoziente e 7 come resto.  Moltiplichiamo dividendo e divisore per 10

       
        Come si può osservare, mentre il quoziente è rimasto invariato il resto ha subito la stessa sorte di dividendo e divisore. Ovviamente se il resto fosse stato zero, sarebbe rimasto tale anche nella seconda divisione.

Moltiplichiamo adesso, dividendo e divisore, per un numero negativo, per esempio –1. La proprietà invariantiva non è valida, infatti 

  Si rifletta attentamente sulla definizione di Divisione Intera per non cadere nell'errore comune di pensare che il quoziente sia  2. Infatti se il quoziente  fosse 2,  il resto dovrebbe essere  -7 contraddicendo il fatto che deve essere positivo

            Le due proprietà  valgono anche per la divisione con i numeri razionali e con quelli irrazionali, cioè con i numeri reali. Tenendo presente che due numeri reali sono sempre esattamente divisibili, purché il secondo sia  diverso da zero, non servono altre ipotesi per la validità dei due teoremi.  

        Le considerazioni fatte sulla divisione intera con i numeri interi, si estendono ai polinomi in una variabile.