Il problema proposto ci aiuta ad illustrare la cosiddetta sfera di Gravesande, un celebre dispositivo didattico che di solito non manca mai nei laboratori delle nostre scuole, e che deve il suo nome al fisico olandese Willem Jacob 's Gravesande (1688-1742). Tale strumento è costituito da una sfera di piombo pendente da un gancio attraverso un anello di acciaio appena più grande del suo diametro. La sferetta viene arroventata tramite un fornelletto ad alcool; dopo essere stata riscaldata, essa non passa più dall'anello, evidente dimostrazione del fenomeno della dilatazione cubica. Questo strumento è detto anche dilatoscopio perchè permette solo una verifica qualitativa di tale fenomeno, a differenza del dilatometro.
Indichiamo dunque con D0 il diametro interno dell'anello e con d0 il diametro della sfera quando entrambi i trovano alla temperatura di 72°C. Inizialmente il diametro della sfera è dello 0,05 % maggiore di quello dell'anello, cioè il loro rapporto è pari a:
Per ridurre il diametro della sfera di piombo rispetto a quello dell'anello occorrerà ridurre la temperatura; indichiamo con ΔT > 0 tale abbassamento di temperatura. Come si è visto nel § 1.4, il coefficiente di dilatazione lineare del piombo vale 29 x 10–6 °C–1, mentre quello dell'acciaio vale 12 x 10–6 °C–1. Applichiamo la formula della dilatazione lineare alla sfera e all'anello; alla temperatura finale Tf i due diametri devono essere uguali, e perciò deve risultare:
La sfera passerà attraverso l'anello se d < D, cioè se:
Sviluppando i calcoli e raccogliendo ΔT, si ha:
da cui si ricava:
Sostituendo i valori numerici, abbiamo:
Dunque la temperatura deve scendere di almeno 29,4°C, e pertanto deve essere:
La risposta giusta è dunque la numero 1, gli altri sono tutti trabocchetti. A questo punto la sfera di Gravesande, dopo essersi raffreddata da 72,0° a 42,6°C, cadrà da sola con un "PLOP" che strapperà un "Ooooh" a tutti gli studenti... come lo ha strappato più volte ai miei.
L'anello di Gravesande all'opera (foto dell'autore dell'ipertesto)