L'esercizio numero 5 non richiede un calcolo numerico, ma una vera e propria dimostrazione, analoga a quella del paragrafo A.2, dunque è riservato ai solutori più che abili. Come nel caso della sfera e del guscio sferico, è necessario ricorrere al calcolo integrale, che come spiegato a suo tempo è figlio proprio della teoria newtoniana della Gravitazione Universale.
Cominciamo con il prendere in considerazione un'asta AB di lunghezza L, disposta lungo l'asse x. A distanza D dal suo estremo B poniamo una massa puntiforme m. Un'ingenua fiducia nella possibilità di estrapolare i risultati di un caso particolare al caso più generale ci potrebbe far pensare che, come nel caso della sfera, l'azione gravitazionale su m sia la stessa che si avrebbe concentrando tutta la massa di AB nel suo baricentro. E trovandosi quest'ultimo nel centro geometrico di AB, cioè a distanza D/2 dall'estremo B, la distanza tra m e il baricentro sarebbe (D + L/2), ed in questo caso la soluzione dell'esercizio sarebbe la numero 3 (la numero 4 sarebbe solo un trabocchetto per chi pensa che il quadrato di una somma sia pari alla somma dei quadrati). Questa affermazione va però giustificata con fior di integrazione.
Poniamo dunque l'origine nell'estremo A, e suddividiamo la nostra asticella in tantissimi elementini infinitesimi, ciascuno di lunghezza dx, con x che va da 0 ad L. Essendo l'asta omogenea, la sua densità lineare (misurata in chilogrammi per metro) è M/L. La massa del singolo elementino dx è perciò:
La distanza di quest'elementino dalla massa m è pari a r = D + L – x, quindi la forza infinitesima esercitata da dM su m vale:
Integriamo ora quest'espressione per x che varia tra 0 ed L. Si ha così:
Come si vede, inaspettatamente la risposta corretta è la numero 2. Dunque, a differenza della sfera, l'asta non si comporta come se la sua massa fosse concentrata nel proprio baricentro! La geometria ha perciò un'importanza fondamentale, nel calcolo dell'azione gravitazionale prodotta da masse estese.
Facciamo notare che, se D >> L, allora D + L si può approssimare con D (aggiungere un metro a un chilometro ci permette di compiere un errore trascurabile, continuando a tener conto del solo chilometro iniziale). La precedente si può quindi approssimare con:
Abbiamo così ritrovato la formula valida per masse puntiformi. La cosa non deve stupirci perché, se la distanza di m dall'asta AB è assai maggiore della sua lunghezza L, m la vede appunto come un oggetto di dimensioni trascurabili, e (tanto per usare una frase fatta) si ricade nel caso precedente.
Con analogo procedimento il lettore esperto può provare a determinare l'azione gravitazionale esercitata sulla massa m da un'asta disposta non lungo l'asse x ma lungo l'asse y, e quindi perpendicolare alla distanza D; oppure quella esercitata su m da un disco circolare di raggio R, anch'esso perpendicolare alla distanza D. In quest'ultimo caso, il disco va suddiviso in corone circolari concentriche, eseguendo una doppia integrazione: una sull'angolo, e una sulla distanza dal centro. Facendo tendere R all'infinito si può poi determinare l'azione gravitazionale di un piano infinitamente esteso.
E con questo, almeno per quanto riguarda il presente ipertesto, siamo arrivati davvero ai titoli di coda...
