In questo approfondimento intendiamo vedere come si affronta il problema della Dinamica Relativistica utilizzando il calcolo differenziale, usandolo per ricavare la (4.4).
Il Secondo Principio della Dinamica afferma che:
cioè la forza è pari alla variazione della quantità di moto nel tempo. Usando la (4.3), abbiamo allora:
La (4.8) è molto difficile da risolvere, essendo la v a numeratore una grandezza vettoriale. Supponiamo tuttavia di studiare il moto unidimensionale, e di usare quest'espressione per trovare l'energia cinetica della particella relativistica, sulla scorta del Teorema dell'Energia Cinetica: L = Ec1 – Ec0 . Si ha così:
La (4.8) fornisce allora:
Integrando per parti si ottiene:
ed eseguendo il denominatore comune tra i primi due termini si ottiene finalmente l'energia cinetica di una particella che si muove con velocità v rispetto ad un osservatore:
Il risultato ottenuto è particolarmente suggestivo, poiché usando la (4.1) è possibile scrivere quella che viene di solito chiamata Equazione relativistica per l'energia:
dunque ogni incremento di energia del sistema appare come un incremento di massa. Ad esempio, ogni variazione di energia potenziale dovuta ad un riassestamento interno del sistema si può esprimere tramite una variazione di massa. A causa della presenza del fattore c2, però, le variazioni di massa sono apprezzabili solo se le variazioni di energia sono molto grandi. A questo punto, basta ricordare che l'energia totale di un sistema è pari alla somma della sua energia cinetica e della sua energia a riposo, per ottenere:
in perfetto accordo con la (4.4). Ed anche l'appassionato di matematica è servito.
Dato che abbiamo tra le mani lo strumento del Calcolo differenziale, utilizziamolo per determinare il moto rettilineo dovuto ad una forza costante secondo la Dinamica delle Alte Energie. Secondo Galilei e Newton, tale moto era rettilineo uniformemente accelerato. Per determinare la velocità relativistica di un tale moto, occorre integrare entrambi i membri della (4.8), ottenendo:
ma F è costante, per cui esce dall'integrale, mentre a secondo membro integrale e derivata si elidono, essendo l'uno l'operazione inversa dell'altro:
risolvendo rispetto alla velocità troviamo:
Per t molto piccolo (cioè all'inizio del moto) il secondo termine a denominatore si può trascurare, e si ottiene:
Che è esattamente l'equazione non relativistica del moto, perché F/m0 = a. Al contrario, per t molto grande l'uno a denominatore è trascurabile rispetto al secondo termine, e rimane:
Cioè v = c. Questo risultato è importantissimo perché, secondo la meccanica
classica, la velocità di un corpo accelerato in modo costante aumenta
indefinitamente; invece, secondo la nuova meccanica di Einstein, v
raggiungerà c
solo all'infinito. Ecco come appare il diagramma velocità-tempo della
particella allorché le energie diventano altissime:
