La regola di Ruffini è un metodo più rapido per calcolare quoziente e resto di una divisione tra un qualsiasi polinomio A(x)  e un binomio di primo grado del tipo:B(x)=x+a, cioè con coefficiente principale uguale a 1, e in cui il termine noto a  è un qualunque numero reale.

Illustriamo con un esempio il nuovo procedimento. Si voglia dividere il polinomio per il binomio di primo grado    .               Costruiamo uno schema disponendo su di una prima riga i coefficienti del polinomio dividendo A(x) , dopo averlo ordinato secondo le potenze decrescenti di x e completato delle potenze mancanti; tracciamo poi dei segmenti verticali, uno alla sinistra del primo coefficiente (+3) , l’altro a sinistra dell’ultimo (-5) . Ribadiamo il fatto che lo 0 è dovuto al coefficiente del termine mancante. Su di una seconda riga, a sinistra del primo segmento verticale, riportiamo il termine noto del polinomio divisore cambiato di segno (+2)  e tracciamo poi, subito sotto, un segmento orizzontale come in fig. 1 .

 

                            

 

           

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fig. 1

                                                                                                                 

 

Ora operiamo in questo modo:

·        Abbassiamo il primo coefficiente del polinomio dividendo ,+3,  al di sotto della linea orizzontale (tale numero sarà anche il primo coefficiente del polinomio quoziente) (fig.2)

                 

 

           

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

   

       fig. 2

 

                                                                               

 

·         Moltiplichiamo questo primo coefficiente per -a,  cioè per +2, e scriviamo questo prodotto (cioè +6 ) sopra il segmento orizzontale, incolonnato con il secondo coefficiente del polinomio dividendo (ossia con lo zero) (fig. 3);

                                                                                                        

 

           

   

 


     

 

 

    

 

 

 

 

 

              fig.3                                                             

 

 

 

 ·       Sommiamo il secondo coefficiente del polinomio dividendo ( lo zero) con il prodotto appena calcolato (+6)  e scriviamo il risultato (+6), secondo coefficiente del polinomio quoziente), al di sotto del segmento orizzontale ( fig. 4)
           

 

           

   

 



 

 

 

 

 

 

           

                                                                                                                         fig. 4

                                                                       

·        Continuiamo allo stesso modo moltiplicando tale somma ancora  per +2,  e scriviamo tale prodotto (+12)  sopra il segmento orizzontale, incolonnato con il terzo coefficiente del polinomio dividendo (ossia con +2 ) (fig. 5);


           

 

           

   

 



 

 

 

 

 

     
            fig. 5

                                                                                                                   

 

                                                             
      

·        Sommiamo il terzo coefficiente del polinomio dividendo ( +2 ) con il prodotto appena calcolato (+12  e scriviamo il risultato (14) ( terzo coefficiente del polinomio quoziente), al di sotto del segmento orizzontale ( fig. 6)

    

 

           

   

 



 

 

 

 

         fig. 6

 

 

                                   

 

·        Per finire, continuiamo allo stesso modo moltiplicando tale somma ancora per +2  e si scriviamo il prodotto (28)  sopra il segmento orizzontale, incolonnato con il termine noto del polinomio dividendo (ossia con -5 )  (fig. 7);

     

 

           

   

 



 

 

 


       fig. 7

 

 

 

·   Sommiamo il termine noto del polinomio dividendo ( -5 ) con il           prodotto  appena calcolato (+28)  e scriviamo il risultato, +23, al di sotto del segmento orizzontale. Il procedimento della Regola di Ruffini è terminato.

I numeri al di sotto della linea orizzontale, compresi tra le due righe verticali, costituiscono i coefficienti del quoziente, mentre quello fuori è il resto fig.8                                                             
                                                                          

 

           

   

 



 

 

                                                                          

   fig. 8

                

                  

Poiché il polinomio quoziente deve avere grado 2, in quanto abbiamo diviso un polinomio di grado tre per un binomio di primo grado, si può concludere che il quoziente deve essere di secondo grado, e quindi: