PRINCIPIO DI IDENTITA' DEI POLINOMI

Dato un polinomio in una variabile, ad esempio , ad ogni valore attribuito alla x rimane associato, per mezzo del polinomio stesso, un sol valore. Sostituendo ad esempio alla x il numero 2, otteniamo , se invece sostituiamo alla variabile il numero -3  abbiamo .

Chi conosce il concetto di funzione, non farà alcuna fatica a riguardare il polinomio in una varabile come una funzione. Chi invece ignora il concetto di funzione può comunque seguire le semplici considerazioni che adesso vengono fatte. Denoteremo un generico polinomio nella variabile x con un simbolo del tipo A(x) ( si legge a di ics) dove A è il nome del polinomio, mentre la x è la variabile ( se la variabile fosse stata y avremmo scritto A(y) ). Per esempio chiamare P(x) il polinomio , significa porre

Se sostituiamo alla x del polinomio, che abbiamo indicato con P(x), un numero qualunque, ad esempio -2, ed eseguiamo i calcoli, al numero che si ottiene si dà il nome di “Valore assunto dal polinomio per x = -2 e lo si indica col simbolo P(-2)”.

 Abbiamo quindi . Vogliamo sottolineare che con il simbolo P(-2) si intende il risultato che si ottiene risolvendo l’espressione che si ha dopo aver fatto la sostituzione. Si faccia altresì attenzione a non fare confusione tra il simbolo P(x) e il simbolo P(2), il primo indica, lo ribadiamo, un polinomio nella variabile x, mentre il secondo indica un numero.

Se il valore assunto da un polinomio per un certo numero è 0, il numero prende il nome di ZERO del polinomio.

Siccome , in ordine alla definizione precedente il numero  prende il nome di Zero del polinomio P(x)

Def.     Due polinomi nella stessa variabile si dicono uguali quando hanno lo stesso grado e i coefficienti dei termini di uguale grado sono uguali.

Def.     Due polinomi nella stessa variabile si dicono identicamente uguali quando assumono lo stesso valore per qualunque numero venga sostituito alla variabile.

            Evidentemente due polinomi uguali sono anche identicamente uguali. Meno evidente, ma molto importante, è la proprietà inversa: due polinomi identicamente uguali sono uguali.

            Le due proprietà, essendo una l’inversa dell’altra vengono fuse, come si fa di solito in casi del genere, in un unico enunciato: Due polinomi sono identicamente uguali se e solo se sono uguali, o nella forma equivalente: Condizione necessaria e sufficiente affinché due polinomi siano identicamente uguali è che siano uguali.La fondamentale proprietà appena enunciata è ricordata come PRINCIPIO DI IDENTITÀ DEI POLINOMI.

(Avvisiamo che si dimostra che se due polinomi di grado n assumono lo stesso valore per n+1 valori della variabile allora sono identicamente uguali. Questo teorema permette di enunciare in forma più ridotta il Principio di Identità dei Polinomi.)

 Alcuni esempi chiariranno quanto detto: i polinomi   non essendo uguali non sono neanche identicamente uguali, ciò significa che non possono assumere lo stesso valore per qualsiasi numero venga sostituito alla variabile x (ciò non esclude però che i due polinomi assumano lo stesso valore per qualche particolare numero attribuito alla x, per esempio si ha:

,

cioè i due polinomi, pur non essendo uguali, assumono lo stesso valore per x=-1, ma come il lettore può facilmente verificare sostituendo alla x un altro numero, tranne 0, i valori assunti dai due polinomi sono diversi.

Si presti adesso molta attenzione all’esempio che segue, in quanto costituisce un’applicazione del Principio di Identità dei Polinomi di cui faremo largo uso in seguito. Supponiamo che il polinomio  sia identicamente uguale al polinomio , tenendo presente che due polinomi sono identicamente uguali se e solo se sono uguali, dovremo necessariamente rendere i coefficienti del secondo polinomio uguali ai corrispondenti coefficienti del primo polinomio, questo procedimento ci porterà a determinare i valori delle lettere (parametri) a,b,c,d. In pratica si hanno le quattro equazioni:

 a-2=3

a+b=0

b+2c=1

c-d=-5

Dalla prima si ottiene a=5, sostituendo il valore trovato alla a della seconda avremo 5+b=0, e quindi b=-5 che sostituito nella terza ci fa ottenere –5+2c=1 da cui 2c=6 che fornisce c=3. L’ultima equazione diventa 3-d=-5, risolvendola abbiamo d=8.