L'esercizio numero 5 non richiede solo un calcolo numerico, ma una vera e propria dimostrazione, analoga a quelle del capitolo 6, dunque è riservato ai solutori più che abili. In questo caso abbiamo a che fare con due gradini di potenziale come quelli del § 6.4, uno speculare all'altro, in modo da ottenere una barriera finita di potenziale.
Come nei casi presentati nel capitolo 6, è necessario ricorrere all'Analisi Matematica. Adesso lo spazio va diviso in tre regioni, di cui due analoghe tra di loro. Classicamente parlando, se E > U0 la particella supera la barriera, che ha il solo effetto di mutarne la velocità. Se 0 < E < U0, la particella non può superare la barriera, e torna indietro quando la incontra. La particella, infine, non può muoversi se E < 0. Impossibile a questo punto non farsi venire in mente la celebre Barriera de "Il Trono di Spade", una colossale muraglia di ghiaccio alta 210 metri e lunga 480 km che protegge i Sette Regni dalle Terre dell'Eterno Inverno, e tiene alla larga giganti e non morti: avrebbe un'età di 8000 anni e sarebbe stata costruita mediante il ricorso alla magia!
Invece, nel caso quantistico è presumibile che si verifichi l'effetto tunnel. Per | x | > a si ha U = 0, e l'equazione di Schrödinger assume la semplicissima forma:
dove si è posto:
La soluzione generale di questa equazione differenziale è:
Questa è la sovrapposizione di un flusso di particelle che viaggia verso destra e di un flusso di particelle che viaggia verso sinistra, come indicano i segni dell'esponenziale immaginario. Supponiamo che inizialmente le particelle provengano tutte da – ∞. Allora è meglio cambiare notazione, e scrivere:
Il termine (1) ci dà l'onda incidente I, proveniente da sinistra: il termine (3) ci dà la frazione T di onda trasmessa verso destra oltre la barriera per effetto tunnel; la (2) ci dà invece la frazione R di onda riflessa verso sinistra, come mostra la figura seguente:
Di conseguenza, se U0 = 0, si ha R = T = 0 e la particella è libera. Poiché la probabilità di trovare la particella deve conservarsi (in quanto la particella non può sparire!), si deve avere:
da cui segue:
| R |2 coincide dunque con il coefficiente di riflessione r e | T |2 con il coefficiente di trasmissione t. Li si trova risolvendo l'equazione di Schrödinger tra – a e + a ed imponendo la continuità con le funzioni d'onda all'esterno. Se 0 < E < U0, l'equazione diventa:
dove si è posto:
La soluzione generale di questa equazione è del tipo:
Chiamiamo A = N+ + N– e B = N+ – N–. Allora:
Le sostituiamo nell'integrale ed abbiamo:
Ricordiamo ora la definizione delle cosiddette funzioni iperboliche:
Ch y si dice il coseno iperbolico, e Sh y il seno iperbolico. Osserviamo che la derivata del coseno iperbolico è il seno iperbolico, e viceversa (invece la derivata del coseno circolare è il seno circolare cambiato di segno. Vale inoltre la relazione Ch2 y – Sh2 y = 1 (mentre invece cos2 y + sen2 y = 1). Si ha allora:
per | x | < a. Imponendo la continuità di ψ(x) e di ψ'(x) nei punti x = ± a, dopo noiosi calcoli si trova:
Si verifica che, effettivamente, r + t = 1. Questo è l'aspetto della ψ(x) da noi determinata:
L'effetto tunnel attraverso la barriera di potenziale appare evidente. La seconda delle relazioni trovate risolve il nostro problema, ma è molto difficile da applicare; vediamo di semplificarla un po'. Secondo la relazione di indeterminazione, dentro la barriera posso osservare la particella se e solo se l'incertezza sulla sua posizione è inferiore a 2 a. In tal caso Δx << 2 a, e quindi:
cioè:
Ma deve essere:
Dunque, per la proprietà transitiva delle disuguaglianze, risulterà:
cioè q a >> 1. Ne segue:
Dunque nell'espressione di | T |2 l'addendo ( 4 q2 k2 ) a denominatore è trascurabile, e resta solo:
Ricordando le espressioni per esteso di q e di k, la precedente può assumere la forma:
Sostituiamo ora in essa i dati numerici del problema proposto. Abbiamo a che fare con un elettrone, la cui massa è circa pari a 9 x 10–31 kg. Se U0 = 6 eV = 9,6 x 10–19 J e E = 3 eV = 4,8 x 10–19 J, si ricava rapidamente q = 1,40 x 109 m–1, e di conseguenza 4 q a = 2,8 ed e–4 q a = 0,061. Applicando la precedente si trova t ≈ 0,243, per cui la probabilità che l'elettrone ha di attraversare la barriera è del 24 % circa. La risposta esatta è dunque la numero 2.
Classicamente, è possibile che la particella venga a trovarsi dentro la barriera anche se E < U0? Supponiamo che la larghezza della barriera aumenti di 15 volte, cioè salga da 5 x 10–10 m a 7,5 x 10–9 m. Non siamo certo ancora su scala macroscopica; eppure, in questo caso 4 q a ≈ 42 ed e–4 q a ≈ 10–19. La particella ha una probabilità su dieci miliardi di miliardi di superare la barriera. Insomma, come già sapevamo l'effetto tunnel può manifestarsi solo su scala microscopica, e dunque i Guardiani della Notte, che nelle "Cronache del Ghiaccio e del Fuoco" di George R. R. Martin (1948-) sorvegliano perennemente la Barriera di Ghiaccio possono dormire tra due guanciali: nessuno degli Estranei o dei non morti potrà attraversare la Barriera ed invadere Westeros approfittando dell'effetto tunnel!
E con questo, almeno per quanto riguarda il presente ipertesto, siamo arrivati davvero ai titoli di coda...
