Soluzione degli enigmi matematici

Vediamo il primo quesito. Il paradosso (solo apparente, però!) sta nel fatto di credere che la bottiglia costi davvero trenta euro, ed invece dopo lo sconto ne costa solo 25! Ora, ognuno dei tre beoni dà una banconota da dieci euro e si riprende un euro dal cameriere, per un totale di 9 euro spesi da ciascuno. Il totale è 9 * 3 = 27; di questi 27 euro, 25 vanno al padrone per la bottiglia, due al ragazzo come mancia. L'errore stava nel sommare 27 + 2, mentre invece i due valori andavano sottratti; ma sono certo che per risolvere questo enigma avete impiegato al massimo 45 secondi.

Quanto alla "non-dimostrazione", ora vi spiego il busillis. Rivediamola insieme. Abbiamo cominciato con lo scrivere.

a² – b² = ( a – b ) * ( a + b )

Ora suppongo b = a. Si ha:

a² – a² = ( a – a ) * ( a + a )

Metto in evidenza a al 1° membro:

a² – a² = ( a – a ) * a

Uguaglio le due precedenti:

( a – a ) * a = ( a – a ) * ( a + a )

Se semplificassi per ( a – a ) avrei:

a = a + a = 2 a

Ora, il problema è proprio questo: a - a = 0 e, come sanno i ragazzini di terza media che iniziano l'algebra, NON SI PUÒ MAI SEMPLIFICARE PER ZERO. Infatti 3 per zero = 6 per zero = zero, e questo non mi autorizza a dire che 3 = 6. Sarebbe come sostenere che una bottiglia vuota non contiene nulla, un'autocisterna vuota non contiene nulla, dunque un'autocisterna ed una bottiglia hanno la stessa capacità. Ovverossia: io sono un animale, il maiale è un animale, dunque io sono un maiale. La premissa secunda del sillogismo non segue dalla premissa maior ma dal suo inverso, un po' come nel paradosso della bottiglia da trenta rupie, e così tutta la dimostrazione crolla (per fortuna, se no avere mille euro sarebbe come averne uno solo!!!)

Veniamo ora ai tre quesiti di Ivan Napolitano. Quanto al primo, si vede ad occhio che una soluzione esiste: è 3, perchè il suo successivo è 4, che è il quadrato di 2. Ora dimostriamo che questa soluzione è anche l'unica possibile.

Chiamiamo il numero primo "p" ed il quadrato x², quindi scriviamo l'equazione:

p + 1 = x²

se isoliamo la variabile che rappresenta il numero primo troviamo a destra una differenza di due quadrati, che possiamo fattorizzare mediante la nota formula:

p = x² – 1 = (x + 1)(x – 1)

essendoci ora a sinistra un numero primo ed a destra un prodotto, quest'ultimo deve necessariamente avere uno dei fattori uguali ad uno, e quindi:

x + 1 = 1 oppure x – 1 = 1

nel primo caso avremo x = 0, quindi p = – 1, non accettabile; nel secondo avremo x = 2, quindi p = 3, soluzione accettabile, quella indicata al principio.

Questo quesito può tranquillamente essere generalizzato, pagando però un po' nella soluzione, in questo altro modo:

p + (– 1)^m = xⁿ

che con calcoli analoghi ci permette di asserire che se m è pari esiste al più un numero di soluzioni pari ad n – 1 (che si possono contare e cercare caso per caso), così come se m è dispari ed n diverso da una potenza di due. In quest'ultimo caso invece, se esistono primi sono noti e definiti primi di Fermat, ma non si sa quanti ce ne sono, né se sono finiti o meno.

Il secondo quesito di Ivan è più difficile da dimostrare, e per questo motivo egli stesso ha scritto la dimostrazione in un documento di testo, che potete scaricare cliccando qui (se il download non parte automaticamente, clic destro con il mouse sul link e poi scegliete "Salva oggetto con nome"). Come potete vedere dal documento, comunque esiste una ed una sola coppia.

La soluzione del terzo quesito è un semplice "SÌ". Mi rendo conto però che c'è bisogno di qualche spiegazione aggiuntiva: la domanda posta da Ivan Napolitano non significa affatto "what is it?" o "quid est?", ed infatti come potete notare la "e" non è accentata! La parola "cos" non sta per "cosa", bensì per "coseno", ed "e" non sta per "essere", ma indica il numero di Nepero... Calcolate con una normale calcolatrice il coseno di un arco misurato in radianti e lungo e, e troverete proprio il numero indicato. Come dice Gerry Scotti, spesso la risposta è nascosta nella domanda!

Tanto di cappello ad Ivan per le sue dimostrazioni!

1) Chiudiamo con gli enigmi proposti da Stefano Franzon. Quanto al primo, la risposta è molto semplice. Sentimentalmente direi che potrebbero essere addirittura marito e moglie perché il quadrato di 13 è 169 e la somma di queste cifre fa 16; il quadrato di 16 è, invece, 256... e la somma di queste cifre fa 13! Fin qui facilino. Come è facile facile regalare una collana di 529 perle ad una donna che compie 23 anni (23 x 23 = 529).

2) I numeri 6, 28 o 456 si dicono perfetti perché sono uguali alla somma dei loro divisori escluso ovviamente il numero stesso. Ad esempio 28 è divisibile per 1, 2, 4, 7 e 14; magia, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 fa proprio 28.

3) 220 si lascia dividere con esattezza e senza resto da 1, 2, 4, 5, 10, 11, 22, 44, 55, 110 e la somma di questi numeri fa proprio 220; il secondo è divisibile per 1, 2, 4, 71, 142 e, ancora, la somma di questi numeri fa proprio 284. Due numeri di questo tipo si dicono "amici".

4) 142.857 x 2 = 285.714 (il 14 che stava a sinistra ora è a destra);
142.857 x 3 = 428.571 (il numero 1 era a sinistra e ora è destra);
Simili risultati si ottengono moltiplicando per 4, 5, 6 (sono immediati a vista senza alcun suggerimento). Ma è splendido se lo moltiplichiamo per 7:

    142.857 x 7 = 999.999.
    142.857 x 8 = 1.142.856 (e il 7 finale viene scomposto dall’1 all’inizio + il 6 finale del prodotto).
    142.857 x 9 = 1.285.713 (e l’unica cifra che pare mancare è il 4 che però troviamo in un 1 a sinistra più un 3 a destra).
La stranezza di questo numero appare anche se lo moltiplichiamo anche per 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 e così via. Per questo lo considero uno dei più misteriosi di tutta la matematica.

5) Quanto al gioco dei 4, ecco la soluzione qui sotto (è stata utilizzata la frazione al posto della divisione per non incorrere in troppe parentesi):

6) Per quanto riguarda la somma di Stefano, ecco le sue risposte:

a) Sono tutti numeri pari, quindi il risultato non può essere dispari.
b) Se invece abbiamo proprio voglia di far fatica, contiamo le cifre dispari di tutti gli addendi: esse sono in quantità pari; ergo le cifre dispari del totale devono essere ancora in numero pari.
Lo so che è banale... non lo è il pensarci, però!

7) Infine, ecco le diverse soluzioni offerte da Stefano e da altri amici circa il problema delle teste e delle zampe:

SOLUZIONE 1: non si tratta di una soluzione particolarmente matematica, ma bisogna pur sempre riconoscere che un bambino di terza elementare, dotato di un minimo di padronanza delle operazioni di base e di un po’ di buona volontà, sarebbe in grado di procedere “per tentativi” ed arrivare al risultato corretto. (Risposta: 8 P e 10 C)

SOLUZIONE 2: con l’approfondirsi delle conoscenze matematiche (diciamo verso la fine della scuola media), si viene a conoscenza delle incognite “queste misteriose” (ovvio che siano misteriose, altrimenti si chiamerebbero in altro modo). Allora lo studente di turno decide di chiamare i polli “x” ; perciò i conigli saranno necessariamente “18 – x”; ma, dovendo far tornare i conti anche per le zampette e quindi potrà impostare la sua bella equazioncina come:

2 x + 4 * (18 – x) = 56

dove il 2 e il 4 rappresentano il numero delle zampe dei polli e dei conigli. (Risposta: 8 P e 10 C)

SOLUZIONE 3: in questa fase l’arte matematica è ancora più evoluta e si scopre che un’equazione può anche avere più incognite: basta solo avere anche un uguale numero di relazioni. Ed è allora tutto più facile: i polli continuano a essere x, i conigli diventano y e, continuando a contare teste con teste e zampe con zampe, si imposta un bel sistemino risolvibile per sostituzione che ci riporta (vero) alla soluzione 2. Quindi:

appare evidente, anche solo ad occhio, che si arriva all’equazione precedente con una banale sostituzione dei termini. (Risposta: 8 P e 10 C)

SOLUZIONE 4: con l’analisi matematica diventa tutto più artistico. I polli e i conigli non vengono messi allo spiedo ma sulle ascisse e sulle ordinate di un piano cartesiano. Le due funzioni di cui al punto 3 altro non sono che due rette. Con la soluzione del sistema si troveranno le coordinate del punto in cui esse si intersecano e questo punto avrà coordinate che saranno il risultato del problema. (Risposta: 8 P e 10 C)

SOLUZIONE 5: e qui cominciano i problemi veri, perché la dobbiamo spiegare ad un bambino piccolo che sa poco di matematica. Bisogna allora filosofeggiare un po’ ed entrare nel mondo delle favole. Proviamo ad inventarci un nuovo animale che si chiama conigliopollo e nasce dall’incrocio tra un coniglio e un pollo. Avrà quindi 1 + 1 = 2 teste e 2 + 4 = 6 zampe. Quindi se le teste sono 18 ci saranno 18 : 2 = 9 coniglipolli. Solo che sorge un piccolo problema: 9 coniglipolli hanno 6 * 9 = 54 zampe! Ci avanzano 2 zampe! Niente paura: a questo punto possiamo inventarci anche il conigliospollato (tanto, a questo punto...), che avrà 1 – 1 = 0 teste e 4 – 2 = 2 zampe (proprio quelle che ci avanzavano). Ricapitolando abbiamo 9 coniglipolli e 1 conigliospollato e cioè:
9 conigli + 9 polli + 1 coniglio – 1 pollo! (Risposta: 8 P e 10 C)

SOLUZIONE 6: suggerita dall'amico Egisto Pacchiarotti, e proponibile anche alle elementari, anche se un po' cruenta ;)

Immaginiamo di poter appendere gli animali per il collo ad un filo di ferro, poi per ogni testa tagliamo due zampe.
Cosa rimarrà?
Ovviamente le zampe rimaste dei quadrupedi, cioè due paia di zampe per ogni quadrupede.
Nel nostro caso, avendo 18 animali quindi 18 teste, dobbiamo togliere 18 * 2 = 36 zampe.
Rimangono quindi 56 – 36 = 20 zampe, ovverosia
10 paia di zampe, perciò nel cortile ci sono 10 quadrupedi. O meglio c'erano ;)
Abbiamo quindi 18 – 10 = 8 bipedi. (Risposta: 8 P e 10 C)

Forma generale della soluzione:
1) si prende il numero gli animali e lo si raddoppia
2) si sottrae al numero delle zampe il numero trovato al punto 1)
3) si divide per due il risultato del punto 2) che corrisponde al numero dei quadrupedi
4) per ottenere il numero di bipedi basta sottrarre al numero di animali il numero dei quadrupedi trovati al punto 3).

Spero vi sia piaciuta!

SOLUZIONE 7: quest'ultima soluzione la dobbiamo al nostro compianto amico Giovanni. Ipotizzando l’esistenza del galliglio, l’animale con due teste e sei zampe, si ha:

18 teste + 56 zampe =

18 teste + 54 zampe + 2 zampe =

= 9 * 2 teste + 9* 6 zampe + 2 zampe =

= 9 * ( 2 teste + 6 zampe ) + 2 zampe =

= 9 galligli + 2 zampe =

= 8 galligli + 1 galliglio + 2 zampe =

Ma 1 galliglio + 2 zampe è uno strano animale con 2 teste e 8 zampe, ovvero equivale a due conigli!

Conclusione:

= 8 galligli + 1 galliglio + 2 zampe =

= 8 galligli + 2 conigli =

= 8 polli + 8 conigli + 2 conigli =

= 8 polli + 10 conigli! (Risposta: 8 P e 10 C)

Misteri della filosofia applicata ai numeri...