Ecco la soluzione.. occorre un certa dimestichezza con la matematica del calcolo combinatorio.

I colori dei camaleonti ad un dato istante si possono descrivere tutti tramite una terna di interi (x,y,z) ove x indica quanti sono quelli gialli, y quelli verdi e z quelli neri. Dobbiamo verificare se è possibile, partendo dalla terna (13, 15, 17) ottenere con le regole descritte, una delle terne (45,0,0) (0,45,0) (0,0,45).

Poiché ad ogni incontro fra camaleonti di colori diverso questi assumono il terzo colore, uno dei tre numeri aumenta di 2 unità e gli altri diminuiscono di 1.

Ovviamente rimane invariato il numero totale N = x + y + z dei camaleonti ma vi è anche un altro invariante che è utile per risolvere il problema:

il resto r della divisione di x - y per 3 (senza questo ulteriore elemento il problema non sarebbe risolubile).

Infatti, per ogni incontro in cui i camaleonti cambiano colore, i primi due numeri (x,y) vengono rimpiazzati da (x-1,y-1) oppure da (x+2, y-1) o ancora da (x-1, y+2).

Nel primo caso x-y non cambia, negli altri due casi x-y cambia di 3 e quindi il resto r della divisione di x-y per 3 rimane invariato. Quindi il resto è invariante.

Siccome per la terna iniziale (13,15,17) si ha r=1, mentre per la terna (45,0,0) (0,45,0) (0,0,45) r= 0 non potrà mai accadere che le terne monocromatiche si realizzino.

Questo accade perché il numero totale dei camaleonti è divisibile per 3, ma l’invariante non è divisibile per 3.

Si può ottenere una situazione stabile in cui vi sono camaleonti di un solo colore solo partendo da una situazione per cui l'invariante r è divisibile per 3.

Si noti che ciò implica che i tre numeri iniziali a,b,c abbiano tutti lo stesso resto nella divisione per 3:

se a-b = 3 h

e a+b+c = 3k

allora anche a-c = 3 t

con h, k, t numeri interi.

…. La prossima sarà più facile!

Vostro Sandro