Nell'immaginario collettivo il ricordo di Archimede è indissolubilmente legato a due aneddoti leggendari. Vitruvio racconta che avrebbe iniziato ad occuparsi di idrostatica perché il sovrano Gerone II gli aveva chiesto di determinare se una corona fosse stata realizzata con oro puro oppure utilizzando all'interno altri metalli. Egli avrebbe scoperto come risolvere il problema mentre faceva un bagno, notando che immergendosi nell'acqua provocava un innalzamento del livello del liquido. Questa osservazione l'avrebbe reso così felice che sarebbe uscito nudo dall'acqua esclamando heureka! (ho trovato!). Se non fossimo a conoscenza del trattato Sui corpi galleggianti non si potrebbe dedurre il livello dell'idrostatica archimedea dal racconto vitruviano. Vitruvio riferisce che il problema sarebbe stato risolto misurando i volumi della corona e di un eguale peso d'oro immergendoli in un recipiente colmo d'acqua e misurando l'acqua traboccata. Si tratta però di un procedimento poco plausibile, sia perché comporta un errore troppo grande sia perché non ha alcuna relazione con l'idrostatica sviluppata da Archimede. Secondo una ricostruzione più attendibile, anche perché attestata nella tarda antichità, Archimede aveva suggerito di pesare la corona e un quantitativo di oro uguale in peso immersi entrambi in acqua. Se la corona fosse stata tutta d'oro la bilancia sarebbe stata in equilibrio. Poiché invece la bilancia si abbassò dalla parte dell'oro, se ne potette dedurre che, essendo pari i pesi, la corona doveva avere subito una maggiore spinta idrostatica verso l'alto e quindi doveva avere un maggiore volume, il che implicava che doveva essere stata fabbricata impiegando anche metalli con densità minore dell'oro (come l'argento). Secondo un altro aneddoto altrettanto famoso Archimede sarebbe riuscito a spostare da solo una nave (o l'avrebbe fatta spostare dal solo Gerone) grazie a una macchina da lui inventata. Esaltato dalla sua capacità di costruire macchine con cui spostare grandi pesi con piccole forze, in questa o in un'altra occasione avrebbe esclamato: “datemi un punto d'appoggio e solleverò la Terra”. La frase è riportata, con leggere varianti, da vari autori, tra i quali Pappo di Alessandria e Simplicio.


« Ad un tratto entrò nella stanza un soldato e gli ordinò di andare con lui da Marcello. Archimede rispose che sarebbe andato dopo aver risolto il problema e messa in ordine la dimostrazione. Il soldato si adirò, sguainò la spada e lo uccise. »
Plutarco, vita di Marcello

La leggenda ha tramandato ai posteri anche le ultime parole di Archimede, rivolte al soldato romano che stava per ucciderlo: «noli, obsecro, istum disturbare» (non rovinare, ti prego, questo disegno). Plutarco, dal canto suo, narra tre differenti versioni della morte di Archimede. Nella prima afferma che un soldato romano avrebbe intimato ad Archimede di seguirlo da Marcello; al suo rifiuto di farlo prima di aver risolto il problema cui si stava applicando, il soldato lo avrebbe ucciso. Nella seconda un soldato romano si sarebbe presentato per uccidere Archimede e quest'ultimo lo avrebbe pregato invano di lasciargli terminare la dimostrazione nella quale era impegnato. Nella terza, dei soldati avrebbero incontrato Archimede mentre portava a Marcello alcuni strumenti scientifici, meridiane, sfere e squadre, in una cassetta; i soldati, pensando che la cassetta contenesse oro, lo avrebbero ucciso per impadronirsene.Secondo Tito Livio e Plutarco, Marcello, che avrebbe conosciuto e apprezzato l'immenso valore del genio di Archimede e forse avrebbe voluto utilizzarlo al servizio della Repubblica, sarebbe stato profondamente addolorato per la sua morte. Questi autori raccontano che fece dare onorevole sepoltura allo scienziato. Ciò non è però riferito da Polibio, che è considerato fonte più autorevole sull'assedio e il saccheggio di Siracusa.