Nella fig. 1 il piano del foglio è il piano dell'eclittica; T è la Terra, punto di incontro dei due diametri dell'eclittica parzialmente tracciati. Il cerchio API, detto eccentrico in quanto il suo centro M non coincide con quello della Terra, è il percorso del Sole P: si vede immediatamente che P, in moto uniforme intorno a M, visto da T sembra invece variare la propria velocità angolare, ciò che spiega l'ineguaglianza stagionale; si vede anche che il punto di massima velocità angolare è I, il perigeo, quello di minima è A, l'apogeo; il centro dell'eccentrico, dunque, si trova sulla linea che va dalla Terra all'apogeo. Si considerino ora le linee tratteggiate: il cerchio su cui è C, concentrico alla Terra, è il deferente; C, ruota a velocità uniforme ed è a sua volta il centro dell'epiciclo, su cui sono D e P, che ruota uniformemente in senso inverso. Si vede che se l'epiciclo ruota a una velocità tale che CP si mantiene parallelo a TM, e se CP=TM e MP=TC, il modello deferente-epiciclo produce per P lo stesso moto apparente dell'eccentrico: i due modelli dunque sono in questo caso equivalenti. I moti degli altri pianeti sono molto più complessi perché presentano altre irregolarità, la più vistosa delle quali è la frequente occorrenza di moti retrogradi. Qui il modello richiesto è quello deferente-epiciclo. Nella fig. 1 si considerino solo le linee tratteggiate e si inverta la freccia dell'epiciclo in modo che esso ruoti nello stesso senso del deferente: nella fase in cui il pianeta P percorre l'arco di epiciclo più vicino a T e per una velocità sufficientemente grande dell'epiciclo, l'osservatore in T vedrà P compiere sullo sfondo stellare uno spostamento angolare opposto a quello medio.
Questa famiglia di modelli cinematici era già stata studiata dal matematico Apollonio di Perga (intorno al 200 a. C.) e impiegata da Ipparco di Nicea (nella seconda metà del 2° sec. a. C.) ma la loro elaborazione estesa a tutti i pianeti, e la conseguente costruzione di tavole, fu opera di Tolomeo.
In particolare, poiché il semplice modello deferente-epiciclo non è sufficiente per descrivere i
moti retrogradi dei pianeti, perché può generare soltanto archi di retrogradazione (costanti contrariamente a ciò che si osserva), Tolomeo costruì modelli combinati a deferente eccentrico (v. la fig. 2, dove T è la Terra, M il centro dell'eccentrico, C quello dell'epiciclo) introducendo in essi ulteriori elementi che li rendevano ancora più complessi. Tra questi il più significativo è l'equante, termine con cui fu in seguito designato il punto E nella fig. 2, simmetrico alla Terra rispetto al centro dell'eccentrico: il centro dell'epiciclo, C, ruota attorno a M come suo centro, ma la sua velocità angolare è uniforme rispetto al punto E. L'introduzione dell'equante è notevole perché con essa Tolomeo lascia cadere l'antico principio dell'uniformità dei moti (infatti la velocità lineare di C cessa di essere costante). Nelle "Ipotesi sui pianeti" (in due libri), Tolomeo dà una versione fisica dei risultati matematici dell'Almagesto e, pur discostandosi in taluni punti dalla cosmologia aristotelica (per esempio, nella determinazione della causa del movimento delle sfere), ne dipende in gran parte, soprattutto mantenendo la divisione tra sfera celeste e sfera sublunare e assegnando alla sfera celeste una composizione non elementare, ma eterea. Questa costruzione sarà alla base del cosiddetto sistema tolemaico e, variamente combinandosi con la cosmologia aristotelica, dell'immagine del mondo dominante a partire dal sec. 13° fino all'età moderna. Opere minori di astronomia e matematica sono: "Analemma", sull'orologio solare; "Tavole astronomiche manuali"; "Fasi delle stelle fisse e raccolte dei loro dati", un calendario meteorologico; "Planisforio", in cui tratta della proiezione stereografica della sfera. Un altro contributo di Tolomeo di grande rilievo riguarda l'"Ottica" originariamente in cinque libri, della quale conserviamo la traduzione latina di una traduzione araba degli ultimi quattro (l'ultimo è monco). In essa Tolomeo aderisce, come già
Euclide, alla scuola pitagorica dei raggi visuali uscenti dall'occhio dove sostituisce tuttavia al "cono prospettico", una piramide con il vertice dell'occhio stesso e la base sul contorno dell'oggetto. In questo modo l'occhio percepisce, attraverso la direzione e la lunghezza dei raggi visuali, la posizione, la forma, la grandezza e il movimento degli oggetti. Nell'Ottica sono trattati i problemi della luce e del colore nella visione, le illusioni ottiche, la riflessione e la
rifrazione. Caratteristici di quest'opera, e originali rispetto alla tradizione, sono la considerazione combinata degli aspetti fisici, geometrici e fisiologici della visione e soprattutto il ricorso a esperimenti. Di particolare importanza sono, al riguardo, i risultati sperimentali trovati da Tolomeo sul rapporto tra gli angoli di incidenza e di rifrazione e sull'angolo limite nel caso del passaggio della luce da un mezzo più denso a uno meno denso. Nel Medioevo e nel Rinascimento l'ottica tolemaica avrà un'influenza significativa, mediata da importanti modificazioni apportatele dagli arabi. Tolomeo scrisse inoltre un compendio di astrologia in quattro libri, il Tetràbiblos. Le influenze celesti sulle vicende terrestri vi sono pensate in termini fisici: le configurazioni celesti, date le proprietà naturali degli astri, sarebbero principî causali di processi che avvengono tra noi. Nell'astrologia di Tolomeo gli eventi individuali sono principalmente, ma non completamente, determinati dalla causazione celeste; resta agli uomini un certo margine di intervento. Il Tetràbiblos manterrà nel mondo arabo e in quello europeo fino al Rinascimento una autorità grandissima, anche se non incontrastata. Nel campo della geografia ricordiamo l'"Introduzione geografica", in otto libri (fondamenti e distinzione tra geografia e corografia, misure della Terra, elenchi di località, confini di paesi, nomi di popoli, divisione dei climi, durata dei giorni, ecc.), in cui Tolomeo forniva le istruzioni per la costruzione della mappa del mondo conosciuto. Gli ultimi sette libri contengono essenzialmente l'elenco di più di 8000 località, con le loro coordinate di longitudine e latitudine; il primo istruisce su come tracciare una mappa soddisfacente. Il problema matematico è qui dato dalla sfericità della superficie terrestre, che si tratta di proiettare in piano. Tolomeo propone due sistemi alternativi di proiezione, in entrambi i quali inserisce dei termini correttivi, allo scopo di soddisfare l'esigenza che la mappa appaia come la rappresentazione di un globo. L'Introduzione geografica non ebbe seguaci nell'antichità; solo nel 15° sec. fu conosciuta in Occidente. È discussa la questione se l'opera originale fosse corredata da carte o se queste siano state aggiunte posteriormente. Infine, Tolomeo redasse un trattato di teoria musicale: "Armonici" (in tre libri), che verte sugli intervalli matematici tra note e sul modo di classificarli, basandosi sul comportamento di una corda tesa. Anche in quest'opera è presente lo sforzo di combinare una teoria matematicamente soddisfacente con i fenomeni percettivi. La teoria musicale di Tolomeo fu ampiamente usata da
Boezio, e per questa via ebbe una certa influenza nei secoli successivi. Molte altre sue opere sono andate perdute.
Teorema di Tolomeo: in un quadrangolo inscritto in una circonferenza, la somma dei rettangoli dei lati opposti è equivalente al rettangolo delle diagonali. Cioè se A, B, C, D sono quattro punti che si succedono su una circonferenza, è: AB•CD+BC•DA=AC•BD. (Estratto da: treccani.it)