Repubblica / Dossier: Maturità

Ecco le soluzioni della prova di matematica assegnata al Liceo Scientifico in occasione dell'Esame di Stato 2004 (tratte dal sito de "La Repubblica", www.repubblica.it )

Testo

Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti del questionario.

PROBLEMA 1
Sia f la funzione definita da:
1. Disegnate il grafico G di f.
2. Nel primo quadrante degli assi cartesiani, considerate la retta y = c che interseca G in due punti distinti e le regioni finite di piano R e S che essa delimita con G. Precisamente: R delimitata dall'asse y, da G e dalla retta y = c.
3. Determinate c in modo che R e S siano equivalenti e determinate le corrispondenti ascisse dei punti di intersezione di G con la retta y = c;
4. determinate la funzione g il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta

PROBLEMA 2
ABC è un triangolo rettangolo di ipotenusa BC.
1. Dimostrate che la mediana relativa a BC è congruente alla metà di BC.
2. Esprimete le misure dei cateti di ABC in funzione delle misure, supposte assegnate, dell'ipotenusa e dell'altezza ad essa relativa.
3. Con BC= metri, determinate il cono K di volume massimo che si può ottenere dalla rotazione completa del triangolo attorno ad uno dei suoi cateti e la capacità in litri di K.
4. Determinate la misura approssimata, in radianti ed in gradi sessagesimali, dell'angolo del settore circolare che risulta dallo sviluppo piano della superficie laterale del cono K.

QUESTIONARIO
1. Trovate due numeri reali a e b, ab, che hanno somma e prodotto uguali.
2. Provate che la superficie totale di un cilindro equilatero sta alla superficie della sfera ad esso circoscritta come 3 sta a 4.
3. Date un esempio di funzione f(x) con un massimo relativo in (1, 3) e un minimo relativo in (-1, 2).
4. Dimostrate che l'equazione ammette una e una sola soluzione reale.
5. Di una funzione g(x) , non costante, si sa che:
Trovate una espressione di g(x).
6. Verificate che le due funzioni hanno la stessa derivata. Quale giustificazione ne date?
7. Un triangolo ha due lati e l'angolo da essi compreso che misurano rispettivamente a, b e d. Quale è il valore di d che massimizza l'area del triangolo?
8. La misura degli angoli viene fatta adottando una opportuna unità di misura. Le più comuni sono i gradi sessagesimali, i radianti, i gradi centesimali. Quali ne sono le definizioni?
9. Calcolate:
10. Considerate gli insiemi { A={1,2,3,4} e B={a,b,c} ; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?

SOLUZIONE

Problema 1

1. La funzione f(x) è definita in , passa per l’origine degli assi ed è simmetrica rispetto a tale punto.
Taglia l’asse delle ascisse nei punti e .
Si ha f ‘ (x) = per e .
La funzione ha dunque un minimo relativo ed un massimo relativo

2. e 3. Indicati con C e D i punti in cui la retta
y = c interseca G, con A e B le rispettive proiezioni sull’asse x e con b l’ascissa del punto B.

L’equivalenza delle superfici R ed S implica che l’area del rettangolo OBCE è uguale all’area della regione limitata dalla curva G, dall’asse x e dalla retta BC, cioè si ha:

Area (OBCE) = = AreaReg .
Cioè:
Ma il punto C (b;c) appartiene al grafico e pertanto si ha il seguente sistema:

Il sistema ovviamente ammette anche altre soluzioni, ma non soddisfano le limitazioni poste (primo quadrante).
La retta richiesta ha pertanto equazione

4. La simmetria rispetto alla retta ha equazioni:
La funzione g richiesta ha pertanto equazione:
ovvero

Problema 2

1. La mediana coincide con il raggio del cerchio circoscritto al triangolo il cui diametro è l’ipotenusa.

2. Posto AB = x , AC = y, BC = a, AH = h,
si ha il sistema simmetrico:
le cui soluzioni, convenendo , sono:

3. Posto e l’angolo , per ragioni di simmetria, è sufficiente considerare il caso . Si distinguono due casi: rotazione intorno al cateto , rotazione intorno al cateto . I volumi di K, nei rispettivi due casi, sono:

.
Nell’intervallo considerato è sempre e quindi . Il massimo va pertanto calcolato sulla funzione
Derivando si ha: y ‘ = . Dallo studio del segno della derivata si ottiene il massimo quando ,
che dà l’angolo .
Il volume massimo richiesto è
litri litri.