Nel linguaggio di tutti i giorni la parola "caos" viene usata per indicare un fenomeno di cui non é possibile comprendere né le cause, né la sua evoluzione nel tempo; perciò spesso questa parola è utilizzata per indicare un evento che avviene in maniera del tutto casuale ed incontrollabile.

Recentemente si è scoperto che diversi fenomeni, detti caotici, non sono descrivibili mediante i modelli classici dell'analisi matematica, i ricercatori dunque stanno cercando di individuare un nuovo modello matematico in grado di descriverli e controllarli.

Quando ci guardiamo intorno ed osserviamo la realtà, tutto appare di una bellezza quasi ovvia e naturale. A prima vista molti fenomeni naturali sembrano semplici, regolari, ma ad uno sguardo più attento scopriamo il loro vero aspetto complesso e irregolare.

All’inizio del XX secolo, i fisici ritenevano che tutti i processi dell’universo fossero perfettamente prevedibili, purché si avessero a disposizione dati di partenza sufficientemente precisi. Questa filosofia deterministica, secondo la quale ogni evento possiede una causa e il futuro è univocamente determinato dal presente, aveva preso le mosse due secoli prima quando Newton, con la sua legge di gravitazione universale, aveva dimostrato che una mela che cade da un albero e un corpo celeste che si muove nello spazio, sono governati dalla stessa legge: l’universo, cioè, si muoveva come un orologio perfettamente regolato.

Per poter applicare le leggi di Newton si faceva l’assunzione che lo stato iniziale del corpo, cioè la sua posizione e velocità, fosse conosciuto con esattezza: ciò implicava che si potesse determinare con precisione la traiettoria seguita. Il fatto, però, che nella realtà qualsiasi grandezza fisica sia affetta da un’incertezza sperimentale ha grosse conseguenze: diversamente da quello che si riteneva, si è visto che un piccolo cambiamento nello stato iniziale del sistema può determinare una modifica anche sostanziale nella traiettoria del sistema. Scrive D. Ruelle in Caso e caos: “Moltissimi sistemi fisici dipendono in modo sensibile dalle condizioni iniziali.[…]. Se si spinge [lo stato del sistema al tempo zero] un po’ a destra o a sinistra, ne conseguono effetti importanti a lungo termine. Questo è un fatto un po’ contrario all’intuizione, e ai matematici e ai fisici è occorso un po’ di tempo per capire come funzionino davvero le cose”.

I primi sintomi di una crisi profonda si mostrarono partire dal XIX secolo. Da un lato gli scienziati seguivano ancora e approfondivano la teoria meccanicista dell'universo, come si può leggere in questo documento scritto da Laplace, che può considerarsi il manifesto del meccanicismo ottocentesco: “Dobbiamo dunque considerare lo stato presente dell'universo come effetto del suo stato anteriore e come causa del suo stato futuro. Un'intelligenza che, per un dato istante conoscesse tutte le forze di cui è animata la natura e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, se per di più fosse abbastanza profonda per sottomettere questi dati all'analisi, abbraccerebbe nella stessa formula i movimenti dei più grandi corpi dell'universo e dell'atomo più leggero: nulla sarebbe incerto per essa e l'avvenire, come il passato, sarebbe presente ai suoi occhi".

Dall'altro lato all’inizio del XX secolo alcuni scienziati evidenziarono i limiti di questa concezione.

In un articolo del 1907, ripubblicato in Science et methode, il matematico francese Henry Poincarè scrisse: "Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione determina un effetto considerevole che non possiamo mancare di vedere, e allora diciamo che l’effetto è dovuto al caso. Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell’universo all’istante iniziale, potremmo prevedere esattamente la situazione dello stesso universo in un istante successivo. Ma se pure accadesse che le leggi naturali non avessero più alcun segreto per noi, anche in questo caso potremmo conoscere la situazione iniziale solo approssimativamente. Se questo ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, non ci occorrerebbe di più e dovremmo dire che il fenomeno è stato previsto, che è governato da leggi. Ma non è così, può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diventa impossibile e si ha un fenomeno fortuito."

Del resto, ci sono fenomeni naturali abbastanza comuni, come le fluttuazioni del tempo atmosferico, le dinamiche bio-evolutive, le turbolenze dei fluidi, per la cui descrizione i modelli classici sono risultati inadeguati, sia per l’enorme numero di equazioni da risolvere, sia per l’instabilità del sistema rispetto alle condizioni iniziali. Questi fenomeni sono oggetto di studio per la recente teoria del caos: essi, definiti come sistemi complessi dinamici non lineari, presentano alcune  caratteristiche in comune, come la non linearità del modello del sistema, la non predicibilità del comportamento e dei risultati del sistema e l’estrema sensibilità alle condizioni iniziali.

Un sistema complesso è definito dai rapporti di interazione tra i suoi componenti, come una pila di mattoni a contatto e inizialmente in una situazione di non equilibrio: i loro movimenti, determinati dalle rispettive caratteristiche e posizioni, modificano in modo imprevedibile la struttura iniziale della pila, finché essi non assumono una posizione di equilibrio stabile. Il premio Nobel Ilya Prigogine ha definito la complessità di un sistema in funzione della complessità del modello necessario per predire il comportamento del sistema: il sistema è tanto più complesso, quanto più il modello deve essere simile al sistema per prevederne i risultati. La non prevedibilità di un sistema complesso è fortemente legata all’estrema sensibilità alle condizioni iniziali; da ciò consegue che modifiche infinitesime delle condizioni iniziali del sistema determinano notevoli ed imprevedibili variazioni del risultato finale: il battito d’ali di una farfalla all’equatore potrebbe causare un uragano a Los Angeles (effetto butterfly).

Un notevole sviluppo delle teorie del caos è stato determinato da una circostanza scoperta casualmente dal metereologo E. Lorenz nel 1963. Egli aveva sintetizzato un semplice modello atmosferico utilizzando tre equazioni differenziali non lineari in tre parametri indipendenti. "Mentre stava preparando una previsione metereologica che aveva iniziato introducendo nel computer vari parametri quantificati in numeri con sei cifre decimali. Riprendendo poi il lavoro dopo un'interruzione pensò bene di abbreviare il compito del computer riducendo a tre le cifre decimali dei parametri, considerato che esse erano più che sufficienti per assicurare la precisione scientifica dei risultati; ma quando li ebbe davanti agli occhi non potè che strabiliare constatando l'abissale difformità riscontrata tra questi e quelli che si sarebbe ragionevolmente aspettato in base ai parametri impostati. Lorenz si rese allora conto che il tempo atmosferico costituisce un esempio di sistema non lineare molto complesso e che quella infinitesima modifica apportata ai parametri metereologici si era ingigantita a dismisura nel corso del successivo sviluppo fino a sfociare in un risultato finale del tutto diverso ed imprevedibile." [ da S. Grieco, "La conoscenza scientifica", 1998 reperibile in http://philo.cnm.unive.it/filosofia/contributi/grieco/scienza.html ]. Il fenomeno ha quindi un andamento caotico.

Tuttavia Lorenz fece una scoperta più interessante: dietro questa manifestazione di disordine e complessità del sistema caotico analizzato, in realtà era presente un certo ordine, in quanto il sistema dinamico si evolveva lungo traiettorie che presentavano un aspetto ordinato e regolare. Il moto delle sue particelle non convergeva mai verso uno stato stabile, né divergeva all'infinito, ma era sempre contenuto in una regione limitata e definita caoticamente, che egli chiamò l'"attrattore" di Lorenz. Nel caso preso in esame dal metereologo, la figura che si otteneva aveva una forma a farfalla. Un attrattore determina quindi la struttura geometrica verso cui evolverà un sistema complesso caotico non lineare. 

I sistemi complessi caotici non sono dunque casuali: questi ultimi sono affidati al caso ed i loro stati sono incontrollabili ed imprevedibili e ammettono solo, quando è possibile applicarla, la legge statistica dei grandi numeri; i sistemi caotici sono molto sensibili alle condizioni iniziali e prevedibili solo a breve termine; tuttavia, sotto il comportamento in apparenza casuale nascondono sempre un certo ordine e sono descritti da un modello che dipende dal loro specifico attrattore: questo comportamento viene anche detto caos deterministico.

In campo matematico, i frattali sembrano rispecchiare nello spazio la complessità del comportamento dei sistemi caotici nel tempo; essi sono figure geometriche, come il cerchio o il triangolo, che possiedono alcune proprietà particolari. Nonostante le leggi matematiche che regolano i frattali siano molto semplici, basta tuttavia una minima variazione in un parametro per determinare una trasformazione delle figure finali: l’aspetto di un oggetto frattale dimostra una notevole sensibilità alle condizioni iniziali che sono state utilizzate per costruirlo. I fenomeni caotici sono quindi tipici di quei sistemi dinamici non lineari che possiedono caratteristiche frattali nello spazio. Un esempio di oggetto frattale è il moto browniano dovuto ai continui urti fra le particelle di polvere che sono in costante agitazione termica.

Attualmente si può affermare che l'Universo è dunque costituito in parte da sistemi lineari ancora completamente dominati dall'ordine, in parte da sistemi complessi caotici non lineari dove un certo ordine c'è, sebbene sia nascosto, ed in parte da sistemi casuali in cui solo il caso regna sovrano.

Il principio dell'ordine universale vale ancora per la maggior parte delle situazioni naturali; ciò stimola gli scienziati alla ricerca di scoperte che rientrino nei settori ordinati dell’universo e consentano così la formulazione delle leggi generali che governano quei fenomeni.