TEOREMA DEL RESTO           

            Abbiamo visto che dovendosi dividere un polinomio nella variabile x, per un binomio del tipo x+a (cioè un binomio di primo grado nella stessa variabile x, con coefficiente della variabile unitario) risulta più agevole servirsi della Regola di Ruffini. Negli stessi casi in cui è lecito applicare la Regola di Ruffini è possibile calcolare il resto della divisione senza eseguire la divisione stessa.

Siano, come al solito, Q(x), r quoziente e resto della divisione di un polinomio P(x) per un binomio x+c, come già sappiamo si ha

 dove r è necessariamente di grado zero.

L’uguaglianza scritta deve valere per qualunque numero venga attribuito alla variabile x. Sostituendo alla x il numero –c, vale a dire l’opposto del termine noto del divisore, otteniamo:

  =    e quindi P(-c)=r

L’ultima uguaglianza ci consente di affermare che “Il resto della divisione di un polinomio P(x) diviso un binomio del tipo x+c è uguale a P(-c), cioè al valore che assume il dividendo quando al posto della variabile x si sostituisce l’opposto del termine noto del divisore”

La proposizione dimostrata si chiama Teorema del resto.

Come applicazione consideriamo la divisione svolta nella sezione Regola di Ruffini , dove abbiamo ottenuto e r=1. Chiamando A(x) il dividendo,   il resto potrà essere calcolato trovando il valore assunto dal dividendo dopo avere sostituito alla x l’opposto del termine noto del divisore, cioè  -2.

In simboli  r= A(-2)=-3(-2)³+(-2)²+12(-2)-3=24+4-24-3=1

Dal teorema del resto si deduce il Teorema di Ruffini:  "Condizione necessaria e sufficiente perché un polinomio P(x) sia divisibile per un binomio del tipo x+c, è che P(-c)=0"