DEFINIZIONI E APPROFONDIMENTI

Richiamiamo alcune definizioni e facciamo alcune riflessioni sui polinomi, utili per lo studio della divisione di due polinomi in una stessa variabile.

            Def.  “Un polinomio in una variabile dicesi ordinato secondo le potenze decrescenti, quando i suoi termini sono scritti da quello di grado più alto a quello di grado più basso.”

            In maniera analoga un polinomio si dice ordinato secondo le potenze crescenti, quando i suoi termini sono scritti da quello di grado più basso a quello di grado più alto

Molto spesso, e noi seguiremo questa convenzione, per “polinomio ordinato”, si intende ordinato secondo le potenze decrescenti.

Def. “Un polinomio in una variabile si dice completo, quando contiene tutte le potenze, da quella di grado più alto a quella di grado zero (termine noto)

Def. “Chiamasi termine principale di un polinomio in una variabile il suo termine di grado più elevato e il relativo coefficiente si chiama coefficiente principale

Ad esempio il polinomio  è ordinato e incompleto (manca il termine di 2° grado), il suo coefficiente principale è 2; il polinomio  è completo, ma non ordinato e il suo coefficiente principale è 1; il polinomio  è completo ed ordinato, ed ha 2 come coefficiente principale. Un polinomio incompleto può essere formalmente completato con gli opportuni monomi nulli. Per esempio il polinomio  può essere ordinato e completato in  aggiungendo, cioè, il monomio nullo  , senza con ciò alterare, la variazione è solo formale, il polinomio dato.

È facile rendersi conto che un polinomio completo, in una variabile, di grado n ha n+1 termini (non ci si dimentichi che per essere completo deve figurare anche il termine noto, cioè quello di grado zero).

Sommando due polinomi, nella stessa variabile, di gradi n, m, diversi tra loro, si ottiene un polinomio che ha come grado il maggiore dei due. Nel caso che n e  m siano uguali, il grado del polinomio somma può essere al  massimo uguale al grado comune.

Alcuni esempi chiariranno l’affermazione: la somma del polinomio di terzo grado   con il polinomio di secondo grado  è evidentemente un polinomio di terzo grado (essendo i due polinomi di grado diverso non può accadere che i termini principali siano monomi opposti), mentre la somma dei due polinomi di terzo grado  e  è un polinomio di primo grado (i due polinomi hanno i termini principali, e anche quelli di secondo grado, opposti)

Un’altra considerazione molto semplice, ma importante, è che moltiplicando due polinomi (entrambi non nulli), si ottiene un polinomio di grado uguale alla somma dei due gradi e di termine principale (coefficiente principale) dato dal prodotto dei due termini principali (coefficienti principali). Infatti considerando ad esempio il prodotto  si può notare che si otterrà un solo termine di 5° grado, , dato dal prodotto dei due termini di massimo grado  e e che tutti gli altri dovranno essere di grado inferiore. Possiamo quindi dire che, se sviluppassimo tutti i calcoli, otterremmo un polinomio di 5°grado con coefficiente principale  e che al massimo potrà avere sei termini (uno in più del suo grado, e quindi dovremo necessariamente trovare vari termini simili).

 Per concludere si osservi l’espressione , essa si compone dell’addizione tra il prodotto di due polinomi con un binomio. In base alle due considerazioni precedenti possiamo affermare che il suo sviluppo dovrà essere un polinomio di settimo grado, derivante dal grado del prodotto, in quanto il binomio , essendo di secondo grado, non ha influenza sul grado ottenuto moltiplicando i due polinomi. Il termine principale è e il numero massimo dei termini è otto.